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lunes, 5 de abril de 2010

El Mundo de los Fractales




Un fractal es un objeto semigeométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas.El término fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975 y deriva del Latín "fractus", que significa quebrado o fracturado. Muchas estructuras naturales son de tipo fractal.


Un fractal ha de cumplir TODAS las características siguientes:

- Es demasiado irregular para ser descrito en términos geométricos tradicionales

- Posee detalle a cualquier escala de observación

- Es autosimilar (exacta, aproximada o estadística)

- Su dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión
topológica

- Se define mediante un simple algoritmo recursivo


No nos basta con una sola de estas características para definir un fractal. Por ejemplo, la recta real no se considera un fractal, pues a pesar de ser un objeto autosimilar carece del resto de características exigidas.

Un fractal natural es un elemento de la naturaleza que puede ser descrito mediante la geometría fractal. Las nubes, las montañas, el sistema circulatorio, las líneas costeras o los copos de nieve son fractales naturales. Esta representación es aproximada, pues las propiedades atribuidas a los objetos fractales ideales, como el detalle infinito, tienen límites en el mundo natural.








limitando los posibles valoreas a un dominio determinado.


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LOS FRACTALES Y EL CAOS

Por varias razones, los fractales han sido asociados a la teoría del caos. Mientras que algunas de estas figuras sí están estrechamente relacionadas, hay otros tipos de fractales que en nada tienen que ver con el caos. Las primeras construcciones fractales (matemáticas) datan de finales del siglo XIX, mucho antes de que la teoría del caos fuese propuesta en la década de 1960. Aún así, gracias a los avances tecnológicos, esta teoría ha generado varios tipos adicionales de fractales. El Dr. Edward Lorentz, del Instituto Tecnológico de Massachusetts es uno de los pioneros en este campo, a pesar de que Jules Henri Pointcaré ya había formulado el "Efecto Mariposa" tan temprano como los 1830's.





Estrictamente hablando, la teoría del caos es el estudio de los sistemas no lineales, para los cuales el índice de cambio no es constante. Se caracterizan por su carácter impredecible. La climatología y el crecimiento poblacional son buenos ejemplos de sistemas no lineales; ambos, también, son fractales.

En sistemas no lineales, cada estado del sistema está determinado por sus estados anteriores (iteración). Un minúsculo cambio en los valores iniciales puede tener dramáticos efectos en el resultado del sistema.







EJEMPLOS EN LA NATURALEZA


La naturaleza nos proporciona cientos de ejemplos de formas fractales. Las siguientes imágenes no son más que unos ejemplos comunes:








El primero corresponde a los capilares de un corazón humano, el resto, quizá, es más fácil de interpretar.

Por último decir que el mundo de los fractales es realmente fascinante y curiso, por razones obvias no podemos subir toda la cantidad de información que circula por internet sobre este tema, sin embargo, desde aquí os animamos a que echéis un vistazo por la red y os deleiteis con la cantidad de curiosidades que podeis encontraros.

Saludos!!

Fuentes: wikipedia, www.fractovia.org

lunes, 1 de marzo de 2010

Un Poco de Humor...


Si alguno de vosotros se pregunta el por qué de tomar la decisión de entrar en esta escuela, es probable que esta imagen ofrezca alguna respuesta...



Seguro que todos hemos tenido días malos en exámenes, ya sea por haber estudiado menos de la cuenta (como la imagen anterior), o quizás, por qué no, los profesores (que siempre se portan genial con nosotros [...] ¿? )han decidido proponer algo distinto...puff



Finalmente, como todos sabemos, nuestra escuela cambia, se producirá la fusión de ambas escuelas y pasará a llamarse E.I.A.E. Sí, hay que profundizar más en cuanto al ámbito del espacio se refiere, hagámoslo pues...




SALUDOS!!

lunes, 22 de febrero de 2010

Las rectas paralelas se cortan en el infinito, ¿mito o realidad?

Siempre hemos escuchado que dos rectas paralelas son aquellas que por mucho que se prolonguen nunca llegan a cortarse, pero también conocemos el concepto de que dos rectas paralelas se cortan en el infinito. ¿Cual de estas dos afirmaciones es verdadera? A continuación intentaremos dar respuesta al dilema ante el que nos encontramos.


Euclides fue un matemático y geómetra griego, que vivió alrededor del 300 a.C. Se le conoce como "El Padre de la Geometría" y fue el creador de la geometría que lleva su propio nombre.

La geometría euclidiana es aquella que estudia las propiedades del plano y el espacio tridimensional. La presentación de ésta se hace mediante un sistema de axiomas que, a partir de un cierto número de postulados que se presumen verdaderos y a través de operaciones lógicas, genera nuevos postulados cuyo valor de verdad es también positivo. Euclides planteó cinco postulados en su sistema:

1. Dados dos puntos se puede trazar una y sólo una recta que los une.
2. Cualquier segmento puede prolongarse de forma continua en cualquier sentido.

3. Se puede trazar una circunferencia con centro en cualquier punto y de cualquier radio.

4. Todos los ángulos rectos son iguales.

5. Si una recta, al cortar a otras dos, forma ángulos internos menores a un ángulo recto, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en el que están los ángulos menores que dos rectos.


Este último postulado, que es conocido como el postulado de las paralelas, fue reformulado como:
5. Por un punto exterior a una recta, se puede trazar una única paralela a la recta dada.

Euclides asumió que todos sus postulados o axiomas eran auto-evidentes y por tanto hechos que no requerían demostración. Sin embargo, el quinto postulado resultó que si bien es compatible con los otro cuatro, es en cierto modo independiente. Es decir, tanto el quinto postulado como la negación del quinto postulado, son compatibles con los otros cuatro postulados. Las geometrías donde el quinto postulado no es válido se llaman geometrías no-euclidianas.

En el Renacimiento las nuevas necesidades de representación del arte y de la técnica empujan a ciertos humanistas a estudiar propiedades geométricas. Al descubrir la perspectiva y la sección, crean la necesidad de sentar las bases formales en la que cimentar las nuevas formas de geometría que ésta implica: la Geometría proyectiva, cuyos principios fundamentales aparecen en el siglo XVII:

• Dos puntos definen una recta.
• Todo par de rectas se cortan en un punto (cuando dos rectas son paralelas decimos que se cortan en un punto del infinito conocido como punto impropio).

A través de estos dos principios podemos obtener la respuesta a nuestra pregunta. La diferencia que encontramos está en el quinto postulado de Euclides (de las paralelas); que dice: “por un punto exterior a una recta, se puede trazar una única paralela a la recta dada”. Este axioma, en proyectiva acabamos de ver que no existe, de modo que no existen las "paralelas"; todas las rectas son secantes, es decir, se cortan en un punto. Por lo tanto, aparece el concepto de punto impropio (marcado con el subíndice infinito; ya que no lo representamos en un lugar concreto como los demás puntos); que vendría a determinar la "dirección" de la recta. Todas las rectas que -euclideanamente- serían "paralelas", proyectivamente se cortan en un mismo punto impropio y a su vez todos los puntos impropios de un plano determinan una recta impropia, única en ese plano.

A pesar de que lo acabamos de enunciar, a modo de conclusión la respuesta a nuestra pregunta de si las rectas paralelas se cortan en el infinito es la siguiente: LAS RECTAS PARALELAS DESDE EL PUNTO DE VISTA DE LA GEOMETRÍA PROYECTIVA SE CORTAN EN EL INFINITO, PERO BASANDONOS EN LA GEOMETRÍA EUCLIDIANA LAS RECTAN NO LLEGAN A CORTARSE NUNCA.

miércoles, 17 de febrero de 2010

martes, 16 de febrero de 2010

Inauguración

Hola a todos, os damos la bienvenida a todos aquellos que visiten nuestro nuevo blog y esperamos que os sirva de plataforma de diversión y aprendizaje. Cada vez que el tiempo nos los permita publicaremos diversas entradas.

¡SALUDOS!